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Videolösungen Aufgabenstellung Lösung
Videolösungen
Aufgabe 1 (1/3)
Aufgabe 1 (2/3)
Aufgabe 1 (3/3)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
- Begründen Sie, dass die Gerade
parallel zur -Ebene verläuft. (1 BE)
- Weisen Sie nach, dass das Viereck
ein Rechteck ist.Bestimmen Sie die Koordinaten von .
Teilergebnis:] (4 BE)
- Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene
in Normalenform.
mögliches Ergebnis:(3 BE)
Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt,das auf einer horizontalen Fläche senkrecht steht.
Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck
- Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen,sollte die Größe des Neigungswinkels
des Solarmodulsgegenüber der Horizontalen zwischen und liegen.Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. (3 BE)
- Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht,das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird,die senkrecht zur Ebene
verlaufen.Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten.Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze,dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Termsberechnet werden kann. (5 BE)
- Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zurEnergiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit demSolarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen.Die Größe des Neigungswinkels
gegenüber der Horizontalenbleibt dabei unverändert.Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch denPunkt dargestellt wird.Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunktdes Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE)
Lösung
Eine Gleichung der Geraden
beziehungsweise:Eine Koordinatengleichung derdurch die Punkte und ist gegeben durch: -Ebene ist gegeben durch:Ein Normalenvektor der -Ebene und ein Richtungsvektor der Geraden sind alsoEs gilt:Der Richtungsvektor der Geraden steht also senkrecht zum Normalenvektor der -Ebene.Der Punkt liegt auf der Geraden , aber nicht in der -Ebene.Damit verläuft die Gerade durch die Punkte und echt parallel zur -Ebene. Nachweis, dass
ein Rechteck ist Das Viereck
ist ein Rechteck, falls zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind und zwei aneinandergrenzende Seiten rechtwinklig aufeinander stehen.Folgende Bedingungen müssen also erfüllt sein: Es gilt:
und außerdemDamit ist das Viereckein Rechteck. Koordinaten von
Der Punkt
Der Punktist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks .In einem Rechteck schneiden sich die Diagonalen in deren Mittelpunkt.Es gilt also: hat die Koordinaten . Das Rechteck
Also:Ein Normalenvektorliegt in der Ebene .Eine Parameterform der Ebene ist gegeben durch: der Ebene kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren von bestimmt werden:Also hat die Koordinatengleichung von die Form:Um den Wert des Parameters zu bestimmen, wird eine Punktprobe mit dem Punkt durchgeführt:Eine Koordinatengleichung der Ebene ist gegeben durch:Dieses Ergebnis stimmt mit dem Kontrollergebnis überein. Gesucht ist der Neigungswinkel der Ebene
Für den zwischen den beiden Ebenen eingeschlossenen Winkelgegenüber der -Ebene.Der Normalenvektor der -Ebene ist gegeben durch: giltund damit:Der Winkel zwischen dem Solarmodul und der horizontalen Fläche beträgt ungefähr , und damit ist die erforderliche Bedingung erfüllt. Im folgenden Schaubild wird der Sachverhalt dargestellt.
Zunächst wird die Ebeneso verschoben, dass die Punkte und in die Punkte und verschoben werden.Diese sind die Schnittpunkte der senkrecht zur Ebene und durch die Punkte beziehungsweise verlaufenden Geraden, welche die Sonnenstrahlen beschreiben, mit der -Ebene.Die Punkte und werden entsprechend der Skizze mitverschoben.Die Punkte und sind bereits die Schattenpunkte von beziehungsweise .Die Schattenpunkte von und sind in der Skizze durch die Punkte beziehungsweise dargestellt.Der Flächeninhalt des Schattens ist gegeben durch:Aus der Skizze kann abgelesen werden:und damitEine Längeneinheit entspricht und damit kann der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Termsberechnet werden. Das Metallrohr lässt sich mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen wie im nachfolgenden Schaubild skizziert.
Der Radius des Kreises, den der Punktbei Drehung des Moduls beschreibt, entspricht folglich dem Abstand des Punktes von der Längsachse des Rohres. Bestimmung einer Hilfsebene
Gesucht ist die Gleichung einer Ebene
Der Richtungsvektor von, welche den Punkt enthält und senkrecht zur Längsachse des Rohres steht.Die Längsachse des Metallrohrs verläuft innerhalb der Geraden mit der Gleichung ist ein Normalenvektor der Hilfsebene , und eine Koordinatengleichung von ist gegeben durch:Weil der Punkt in der Ebene liegt, kann durch eine Punktprobe der Wert des Parameters bestimmt werden:Eine Koordinatengleichung der Hilfsebene ist gegeben durch: Koordinaten des Lotfußpunktes
Der Lotfußpunkt
Die Koordinaten des Lotfußpunktesist der Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Längsachse des Rohres : ergeben sich aus:Der Punkt besitzt die Koordinaten . Abstand zwischen
und Der Abstand zwischen
und entspricht der Länge des Vektors .Es gilt: Kreisradius
Der Radius
Eine Längeneinheit entsprichtdes Kreises, den der Punkt bei Drehung des Solarmoduls um die Längsachse des Rohres beschreibt, entspricht dem Abstand zwischen den Punkten und , also in der Realität und damit ist der Radius des KreisesDer Punkt beschreibt einen Kreis mit Radius um die Längsachse des Rohres.
letzte Änderung: 01. 02. 2022 - 10:41:55 Uhr