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Inhalte „Lineare Algebra 1“
- Einführung in die lineare Algebra
- Vektorräume
- Linearkombinationen, Erzeugendensystem und Basis
- Lineare Abbildungen
- Lineare Abbildungen
- Eigenschaften linearer Abbildungen
- Prinzip der linearen Fortsetzung
- Beweise für lineare Abbildungen führen
- Monomorphismus
- Epimorphismus
- Isomorphismus
- Endomorphismus und Automorphismus
- Bild einer linearen Abbildung
- Kern einer linearen Abbildung
- Vektorraum linearer Abbildungen
- Dualraum
- Aufgaben
- Lineare Abbildungen
- Matrizen
- Isomorphiesatz und Dimensionsformel
- Einführung in die lineare Algebra
Wir werden hier eine Beweisstruktur angeben, die zeigt, wie du immer die Linearität einer Abbildung zeigen kannst.
Allgemeine Vorgehensweise
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Wiederholung: Definition der linearen Abbildung
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Wir erinnern uns daran, dass eine lineare Abbildung (oder auch hom*omorphismus) eine strukturerhaltende Abbildung von einem 
-Vektorraum 
in einen -Vektorraum 
ist. Das bedeutet, für die Abbildung 
müssen folgende zwei Bedingungen gelten:
- muss additiv sein, d.h. für gilt:
- muss hom*ogen sein, d.h. für gilt:
Bei einer linearen Abbildung ist es also egal, ob wir zuerst die Addition bzw. Skalarmultiplikation im Vektorraum durchführen und dann die Summe in den Vektorraum abbilden, oder zuerst die Vektoren 
in den Vektorraum abbilden und dort die Addition bzw. Skalarmultiplikation mit den Bildern der Abbildung durchführen.
Beweisstrukur für eine lineare Abbildung
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Der Beweis, dass eine Abbildung linear ist, kann nach folgender Struktur durchgeführt werden.Zunächst gehen wir davon aus, dass eine Abbildung zwischen Vektorräumen gegeben ist. Das heißt, und sind -Vektorräume und 
ist wohldefiniert.Dann ist für die Linearität von zu zeigen:
- Additivität:
- hom*ogenität:
Aufgabe(Einführendes Beispiel)
Wir betrachten folgende Abbildung
und zeigen, dass diese linear ist.
Beweis(Einführendes Beispiel)
Zunächst sind 
und 
Vektorräume über dem Körper . Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.
Beweisschritt: Additivität nachweisen
Seien 
.
Damit haben wir die Additivität von nachgewiesen.
Beweisschritt: hom*ogenität nachweisen
Seien 
und 
. Dann gilt
Damit haben wir die hom*ogenität von nachgewiesen.
Die Nullabbildung
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Die Nullabbildung ist diejenige Abbildung, die alles auf die Null abbildet. Im Beispiel der Nullabbildung von nach 
sieht diese Abbildung folgendermaßen aus:
Aufgabe(Nullabbildung ist linear)
Zeige, die Abbildung ist linear.
Beweis(Nullabbildung ist linear)
Wir wissen bereits, dass und beide -Vektorräume sind und dass die Nullabbildung wohldefiniert ist.
Beweisschritt: Additivität
Für alle 
gilt
Beweisschritt: hom*ogenität
Für alle 
gilt
Damit ist die Nullabbildung linear.
Ein Beispiel im
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Wir betrachten ein Beispiel für eine lineare Abbildung von nach :
Aufgabe(Linearität von )
Sei 
gegeben mit
Zeige, dass die Abbildung 
linear ist.
Lösung(Linearität von )
ist ein -Vektorraum. Außerdem ist die Abbildung wohldefiniert.
Beweisschritt: Additivität
Seien 
und 
beliebige Vektoren aus der Ebene . Dann gilt:
Beweisschritt: hom*ogenität
Sei und 
, dann gilt:
Damit ist die Abbildung linear.
Eine lineare Abbildung im Folgenvektorraum
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Als nächstes betrachten wir den Raum aller Folgen reeller Zahlen. Dieser ist nicht endlich-dimensional, denn es gibt nicht endlich viele Folgen, die diesen Folgenraum erzeugen. Er ist aber ein Vektorraum, wie wir im Kapitel über Folgenräume gezeigt haben.
Aufgabe(Folgenvektorraum)
Sei der -Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen. Zeige, dass die Abbildung
linear ist.
Wie kommt man auf den Beweis?(Folgenvektorraum)
Um Linearität zu zeigen, sind zwei Eigenschaften zu prüfen:
- ist additiv: für alle
- ist hom*ogen: für alle und
Die Vektoren 
und 
sind Folgen reeller Zahlen, d.h. sie sind von der Form 
und 
mit 
für alle 
.
Lösung(Folgenvektorraum)
Beweisschritt: Additivität
Seien 
und 
. Dann gilt
Daraus folgt, dass additiv ist.
Beweisschritt: hom*ogenität
Sei und . Dann gilt
Also ist hom*ogen.
Somit wurde nachgewiesen, dass eine -lineare Abbildung ist.
Abstraktes Beispiel
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Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit etwas abstrakteren Vektoren. Seien 
beliebige Mengen; ein Körper und ein -Vektorraum. Wir betrachten nun die Menge aller Abbildungen der Menge 
in den Vektorraum und bezeichnen diese Menge mit 
. Weiterhin betrachten wir auch die Menge aller Abbildungen der Menge 
in den Vektorraum und bezeichnen diese Menge mit 
. Die Addition zweier Abbildungen definieren wir für 
durch
Die skalare Multiplikation definieren wir für 
durch
Analog definieren wir die Addition und die skalare Multiplikation für .
Aufgabe(Die Menge ist ein Vektorraum über )
Zeige, dass ein -Vektorraum ist.
Wie kommt man auf den Beweis?(Die Menge ist ein Vektorraum über )
Überprüfe einfach die Vektorraumaxiome.
Wir zeigen nun, dass die Präkomposition mit einer Abbildung 
eine lineare Abbildung von nach ist.
Aufgabe(Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)
Sei ein Vektorraum, seien 
Mengen und sei bzw. der Vektorraum der Abbildungen von bzw. nach . Sei beliebig, aber fest. Wir betrachten die Abbildung
Zeige, dass 
linear ist.
Es ist wichtig, dass du dich genau an die Definitionen hältst. Mache dir klar, dass eine Abbildung ist, die jeder Abbildung von nach eine Abbildung von nach zuordnet. Diese Abbildungen, die Elemente von bzw. sind, müssen selbst aber nicht linear sein, da auf den Mengen und keine Vektorraumstruktur vorhanden ist.
Zusammenfassung des Beweises(Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)
Um die Linearität von zu beweisen, müssen wir wieder die zwei Eigenschaften prüfen:
- ist additiv: für alle
- ist hom*ogen: für alle und
Bei beiden Punkten ist also eine Gleichheit von Abbildungen 
zu zeigen. Dazu werten wir die Abbildungen an jedem Element 
aus.
Lösung(Die Präkomposition mit einer Abbildung ist linear.)
Seien 
.
Beweisschritt: Additivität
Für alle 
gilt
Damit haben wir 
gezeigt, das heißt ist additiv.
Seien 
und .
Beweisschritt: hom*ogenität
Für alle gilt
Damit haben wir 
gezeigt, was bedeutet ist hom*ogen.
Die Additivität und hom*ogenität von bedeutet aber, dass eine lineare Abbildung ist.
Monomorphismus →
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